Question

Найти наименьшее целое положительное решение неравенства
$16^{1-x+2x^{2}}+9^{2x^{2}+1-x}\geq \frac{25}{12^{x-2x^{2}}}$

Помогите пожалуйста, заранее спасибо.

Answer 1

$4^{2-2x+4x^2}+3^{2-2x+4x^2}\geq 25*(4*3)^{2x^2-x}\\ \Pi ycmb\ t=2x^2-x \\ 4^{2t+2}+3^{2t+2}\geq 25*(4*3)^{t}\ \Big |\ : 3^{2t+2}\neq 0\\ (\frac{4}{3})^{2t+2} +1\geq \frac{25}{9}*(\frac{4}{3})^{t}$

$\frac{16}{9}*(\frac{4}{3})^{2t} -\frac{25}{9}*(\frac{4}{3})^{t}+1\geq 0\\ \Pi ycmb \ (\frac{4}{3})^{t} = y\\ \frac{16}{9}y^{2} -\frac{25}{9}y+1\geq 0\\ 16y^2-25y+9\geq 0\\ (16y-9)(y-1) \geq 0$

$y\leq \frac{9}{16}$ или у ≥ 1

$(\frac{4}{3})^t\leq \frac{9}{16}$ или $(\frac{4}{3})^t \geq 1$

t ≤ -2        или         t ≥ 0

2x²-x≤-2   или        2x²-x≥0

2x²-x+2≤0  или       2х(х-0,5)≥0

D<0                             ⇓ 

⇓                                 х∈(-∞; 0]∪[0,5; +∞)

решений нет

Наименьшее положительное целое - число 1

Ответ: 1

Answer 2

$16^{1-x+2x^{2}}+9^{2x^{2}+1-x}\geq \frac{25}{12^{x-2x^{2}}}$
Домножим обе части неравенства на положительное выражение
${12}^{x - 2 {x}^{2} }$

${12}^{x - 2 {x}^{2} } \times {16}^{2 {x}^{2} - x + 1} + {12}^{x - 2 {x}^{2} } \times {9}^{2 {x}^{2} - x + 1} - 25 \geqslant 0$
После всех преобразований : 12 = 4 × 3 =>

$16 \times {( \frac{4}{3}) }^{2 {x}^{2} - x} + 9 \times {( \frac{3}{4} )}^{2 {x}^{2} - x } - 25 \geqslant 0$

Сделаем замену :
$t = {( \frac{4}{3}) }^{2 {x}^{2} - x } \\ \\ t > 0$

$16t + \frac{9}{t} - 25 \geqslant 0 \\ \\ 16 {t}^{2} - 25t + 9 \geqslant 0 \\ \\ (t - 1)(t - \frac{9}{16} ) \geqslant 0$

Решим методом интервалов:

+++++++°( 0 )+++++•[ 9/16 ]-----------•[ 1 ]++++++> t

$t \geqslant 1 \\ t \leqslant \frac{9}{16}$

$1) t \geqslant 1 \\ \\ {( \frac{4}{3} )}^{2 {x }^{2} - x} \geqslant {( \frac{4}{3} )}^{0} \\ \\ 2 {x}^{2} - x \geqslant 0 \\ \\ x \times (2x - 1) \geqslant 0$

+++++•[ 0 ]----------•[ 1/2 ]++++++++> x
__________________
$x \leqslant 0 \\ x \geqslant \frac{1}{2}$
__________________
$2) \: { (\frac{4}{3} )}^{2 {x}^{2} - x} \leqslant \frac{9}{16} \\ \\ \: { (\frac{4}{3} )}^{2 {x}^{2} - x} \leqslant \: {( \frac{4}{3} )}^{ - 2} \\ \\ 2 {x}^{2} - x + 2 \leqslant 0$

Выражение 2х² - х + 2 всегда больше нуля

Значит, решений нет

При х ≤ 0 идут отрицательные числа, а нужны только положительные

При х ≥ 1/2

Наименьшее целое положительное решение данного неравенства является число 1

Ответ: 1