Question

Доказать. На школьном уровне

Answer 1

Если f(x) и g(x) - обратные, то $f(g(x))=x$. Тогда имеем следующее следствие: $(f(g(x)))'=1\\ f'(g(x))\cdot g'(x)=1$

Положим $g(x)=arctgx$. Имеем

$(\mathrm{tg(\mathrm{arctgx})})'\cdot (\mathrm{arctgx})'=1\\ \\ \dfrac{1}{\cos^2(\mathrm{arctgx})} \cdot (\mathrm{arctgx})'=1\\ \\ (\mathrm{arctgx})'=\cos^2(\mathrm{arctgx})\\ \\ (\mathrm{arctgx})'=\bigg(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\bigg)^2\\ \\ (\mathrm{arctgx})'=\dfrac{1}{x^2+1}$

Answer 2

$y = arctg(x)\\ tg(y)=x\\ tg(arctg(x)) = x\\ (tg(arctg(x)))' = (x)'\\ tg(y)'=(x)'\\ \frac{y'}{cos^2y}=1\\ y'=cos^2y=\frac{1}{\frac{1}{cos^2y}}=\frac{1}{\frac{cos^2y+sin^2y}{cos^2y}}=\frac{1}{1+\frac{sin^2y}{cos^2y}}=\frac{1}{1+tg^2y}=\frac{1}{1+x^2}$