Question

Знайдіть суму квадратів відстаней від довільної точки кола радіуса 5 см до вершини описаного навколо нього квадрата

Answer 1

Точка пересечения диагоналей квадрата является центром вписанной и описанной окружностей. Радиусы вписанной и описанной окружностей квадрата относятся как катет и гипотенуза в равнобедренном прямоугольном треугольнике, R=r√2.

MO=r =5

AO=BO=CO=DO =r√2

По теореме Аполлония

△AMC: AM^2 + CM^2 = 2(MO^2 + AO^2)

△BMD: BM^2 + DM^2 = 2(MO^2 + BO^2)

AM^2 + CM^2 + BM^2 + DM^2 = 4(MO^2 +AO^2) =12r^2 =12*25=300

___________________________________________________

Теорема Аполлония:

a^2 +b^2 = 2(Mc^2 +(c/2)^2), Mc - медиана к стороне с.