Question

При каком наибольшем целом значении a точка x=Pi будет точкой максимума функции y=2^(-a*cos(x)^2)?

Требуется подробное решение

Answer 1

Рассмотрим саму функцию

$f(x)=2^{-a*Cos^2(x)$

Ее производная

$f'(x)=a*ln(2)*Sin(2x)*2^{-aCos^2(x)}$

Очевидно, $f'(\pi)=0$ независимо от значения параметра $a$, т.е. необходимое условие экстремума выполнено в любом случае. Также в любом случае справедливо неравенство $2^{-aCos^2(x)} *ln(2)>0$

Значит на знак производной влияет только знак произведения $a*Sin(2x)$, максимум будет если $a*Sin(2x)>0$ слева от точки $x=\pi$ и $a*Sin(2x)<0$ справа от нее же.

Эти условия выполняются при любом $a<0$, но т.к. требуется наибольшее целое, то $a=-1$