Question

tg2x = 9sin^2x +4sinxcosx -3cos^2x

решите уравнение

Answer 1

По формуле понижения степени и синусу двойного угла:

$tg2x=9\cdot\dfrac{1-\cos 2x}{2} +2\sin 2x-3\cdot\dfrac{1+\cos 2x}{2} \\ \\ tg2x=\dfrac{9-9\cos 2x-3-3\cos 2x}{2}+2\sin 2x\\ \\ tg2x=3-6\cos 2x+2\sin 2x$

Умножим левую и правую части уравнения на $\cos 2x\ne 0$, получим:

$\sin 2x=3\cos 2x-6\cos^22x+2\sin 2x\cos 2x\\ \sin 2x-3\cos 2x+6\cos^22x-2\sin 2x\cos 2x=0\\ (\sin 2x-3\cos 2x)-2\cos 2x(\sin 2x-3\cos 2x)=0\\ (\sin 2x-3\cos 2x)(1-2\cos 2x)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей обращается в нуль.

$\sin 2x-3\cos 2x=0~|:\cos 2x\ne0\\ tg2x-3=0\\ 2x=arctg3+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ x=0.5actg3+0.5\pi n,n \in \mathbb{Z}$

$1-2\cos 2x=0\\ \cos 2x=0.5\\ 2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,n \in \mathbb{Z}$