Question

Найти все значения параметра а, при который уравнение имеет решение.

Answer 1

В левой части уравнения стоит непрерывная, монотонно возрастающая функция с областью определения [max(2, -3a), +∞). При увеличении x её значения становятся больше 5, тогда, чтобы у уравнения было решение, значение этой функции в левой точке области определения x = max(2, -3a) должно быть не больше 5.

Если 2 ≥ -3a (a ≥ -2/3), то область определения функции [2, +∞). Значение в точке x = 2:

$\sqrt{2+3a}\leqslant 5\\ 0\leqslant 2+3a\leqslant 25\\ -2\leqslant 3a\leqslant 23\\ a\in\left[-\dfrac23,\dfrac{23}3\right]$

Если a ≤ -2/3, то область определения функции [-3a, +∞). Значение в точке -3a:

$\sqrt{-3a-2}\leqslant5\\ 0\leqslant -3a-2\leqslant25\\ -25\leqslant3a+2\leqslant0\\ -27\leqslant3a\leqslant-2\\ a\in\left[-9,-\dfrac23\right]$

Ответ – объединение этих двух промежутков.

Ответ: $\left[-9,\dfrac{23}3\right]$