Question

Найдите все значения параметра а ,при которых расстояние между корнями больше 3 .
$a {x}^{2} + 2(a - 1)x + (a - 4) = 0$

Answer 1

1. $a\ne 0$

2. $\frac{D}{4}=(a-1)^2 -a(a-4)>0$

$a^2-2a+1-a^2+4a>0\\ 2a+1>0\\ a>-0.5$

Корни уравнения: $x_{1,2}=\dfrac{-(a-1)\pm\sqrt{2a+1}}{a}$

Согласно условию: $\displaystyle \bigg|x_2-x_1\bigg|=\bigg|-\frac{2\sqrt{2a+1}}{a}\bigg|>3$

$\displaystyle 2\sqrt{2a+1}>3|a|\\ \\ \left \{ {{2a+1\geq0} \atop {4(2a+1)>9a^2}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{a\geq-0.5} \atop {9a^2-8a-4<0}} \right. ~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{a\geq-0.5} \atop {a\in(\frac{4-2\sqrt{13}}{9}};\frac{4+2\sqrt{13}}{9})} \right.$

Общее пересечение решения неравенств: $a\in\bigg(\dfrac{4-2\sqrt{13}}{9}};0\bigg)\cup\bigg(0;\dfrac{4+2\sqrt{13}}{9}\bigg)$