у правильної чотирикутної піраміди двогранний кут при ребрі основи дорівнює а.Знайдіть об‘єм піраміди,якщо її бічне ребро дорівнює м
Ответы
Дана правильная четырёхугольная пирамида РАВСД.
Проведём в ней апофему А (отрезок РК), точку К соединим с точкой О (проекцией вершины Р на основание).
Тогда угол РКО - это заданный угол α наклона боковой грани к основанию.
Боковые рёбра равны m.
Длину стороны основания примем равной а.
Отрезок КО равен половине стороны основания, тогда апофема А равна:
А = (а/2)/cos α.
Из прямоугольного треугольника РКА имеем:
m² = (a/2)² + A² = (a²/4) + (a²/(4cos²α)) = (a²/4)/(1 + (1/cos²α)).
Отсюда определяем величину стороны основания:
a = (2m*cos α)/√(1+cos²α) и её половину (а/2) = (m*cos α)/√(1+cos²α) и апофему А через заданные значения: А = m/√(1 + cos²α).
Определяем высоту Н пирамиды.
Н = √(А² - (а/2)²) = √((m²/(1 + cos²α)) - ((m²*cos² α)/(1+cos²α)).
Вынесем m за скобки и из корня:
Н = m√((1 - cos² α)/(1+cos²α)). Заменим 1 - cos² α на sin²α и вынесем из корня.
H = (m*sinα)/(√(1 + cos²α).
Теперь можно найти объём пирамиды.
V = (1/3)SoH = (1/3)*((4m²*cos² α)/(1+cos²α))*((m*sinα)/(√(1 + cos²α)) =
= (4m³cos²α*sin α)/(3((1 + cos²α)^(3/2))).