Question

1.не вычисляя корни x1 и x2 уравнение x^2-7x+5=0 найдите значения выражения (см.рисунок)(c пояснением)
2.Найдите наименьшее значение выражения 3a^2+5ab-2b^2 , если b-2a=2 (c пояснением)

Answer 1

1) Преобразуем выражение: $\frac{x_{1}*x_{1}+x_{2}*x_{2}}{x_{2}*x_{1}} =\frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{2}*x_{1}} = \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2} - 2x_{1}x_{2}}{x_{2}*x_{1}} = \frac{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} }{x_{2}*x_{1}}$

По теореме Виета:

x₁ + x₂ = 7

x₁*x₂ = 5

Подставляем в выражение:

$\frac{(x_{1} + x_{2})^{2} - 2x_{1}x_{2} }{x_{2}*x_{1}} = \frac{7^{2}-2*5}{5} =\frac{39}{5}$

2) b = 2 + 2a, подставим это в выражение:

3a² + 5a*(2+2a) - 2*(2+2a)² = 3a² + 10a + 10a² - 2*(4+8a+4a²) = 3a² + 10a + 10a² - 8 - 16a - 8a² = 5a² - 6a - 8 = 5*(a² - 6/5a - 8/5) = 5*(a² - 2*3/5 + 9/25) - 49/5 = 5*(a-3/5)² - 49/5

Выражение достигает наименьшего значения в точке а=3/5, равное -49/5