Question

найдите значение выражения

Answer 1

$16 \sin(10) \sin(30) \sin(50) \sin(70) \sin(90) = 16 \sin(10) \times \frac{1}{2} \times \sin(50) \times \sin(70) \times 1 = 8 \ \sin(10) \sin(50) \sin(70)$
По формуле :
$\sin(a) \times \sin(b) = \frac{ \cos(a - b) - \cos(a + b) }{2}$
Получаем :
$8 \times \frac{ \cos( - 40) - \cos(60) }{2} \times \sin(70) = 4( \cos(40) - \frac{1}{2} ) \times \sin(70)$
Из-за честности функции -40 можно заменить на 40
$4 \cos(40) \sin(70) - 2 \sin(70)$
По формуле :
$\cos(a) \sin(b) = \frac{ \sin(a + b) + \sin(b - a) }{2}$
Получаем :
$2 \times ( \sin(110) + \sin(30)) - 2 \sin(70) = 2( \sin(110) + \frac{1}{2} ) - 2 \sin(70) = 2 \sin(110) + 1 - 2 \sin(70)$
$2 (\sin(110) - \sin(70) ) + 1$
По формуле:
$\sin(a) - \sin(b) = 2 \cos( \frac{a + b}{2} ) \sin( \frac{a - b}{2} )$
Получаем:
$2 \times 2 \cos(90) \sin(2 0 ) + 1 = 2 \times 2 \times 0 \times \sin(20) + 1 = 0 + 1 = 1$

Answer 2

16sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 sin 90= 16 (1/2) cos 80 cos 40 cos 20=

$8\frac{\sin 20\cdot \cos 20\cdot cos 40\cdot \cos 80}{\sin 20}= 4\frac{sin 40\cdot \cos 40\cdot \cos 80}{\sin 20}= 2\frac{\sin 80\cdot \cos 80}{\sin 20}=\frac{\sin 160}{\sin 20}=$

$=\frac{\sin 20^{\circ}}{\sin 20^{\circ}}=1$

В процессе решения мы воспользовались знанием sin 30=1/2; sin 90=1; формулами приведения и формулы синуса двойного угла