Question

Нужна помощь с ними (это последние 2 задания)

Answer 1

$11.\; \; V:\{z=0,\; z=4,\; x^2+y^2=4\}\\\\\iiint \limits _{V}(2-xy)dxdydz=\iint \limits _{D_{xy}}(2-xy)dxdy\int \limits ^4_0dz=\\\\=4\iint \limits _{D_{xy}}(2-xy)dxdy=[\, x=rcos\phi ,\; y=rsin\phi ,dxdy=rdrd\phi ,\\\\x^2+y^2=r^2,\; r^2=4\; ,\; r=2\, ]=4\int\limits _0^{2\pi }\, d\phi \int\limits^2_0\, (2-r&^2\, cos\phi \, sin\phi )\, r\, dr=\\\\=4\int\limits^{2\pi }_0\, d\phi \int\limits^2_0(2r-\frac{1}{2}r^3sin2\phi )dr=4\int\limits^{2\pi }_0\, \Big (r^2-\frac{r^4}{8}sin2\phi \Big )\Big |_0^2d\phi =$

$=4\int\limits^{2\pi }_0(4-2sin2\phi )\, d\phi =4(4\phi -2\cdot \frac{1}{2}cos2\phi )\Big |^{2\pi }_0=\\\\=4(8\pi -cos4\pi -0+cos0)=4(8\pi -1+1)=32\pi$

$12.\; \; S:\; \; x-y+z=1\; \to \; \; \vec{n}=(1,-1,1)\; ,\; \vec{n}_0=(\frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3})\\\\cos(OZ,\vec{n}_0)>0\; \to \; 0^\circ <(\vec{n}_0,OZ)<90^\circ \\\\\iint \limits_{S}\, z\, dx\, dy=\iint \limits_{D_{xy}}\, (1-x+y)\, dx\, dy=\int\limits^1_0\, dx \int\limits_{x-1}^0\, (1-x+y)\, dy=\\\\=\int\limits^1_0\Big ((1-x)\cdot y+\frac{y^2}{2}\Big )\Big |^0_{x-1}\, dx=\int\limits^1_0\, \Big ((x-1)^2-\frac{(x-1)^2}{2}\Big )\, dx=\\\\=\int\limits^1_0\, \frac{(x-1)^2}{2}\, dx=\frac{(x-1)^3}{6}\Big |_0^1=\frac{1}{6}\cdot (0-(-1))=\frac{1}{6}$