Question

При каких значениях параметра "a" каждое решение системы....

Answer 1

Рассмотрим систему и то третье неравенство, представим что везде стоят знаки равенства, построим соотв. графики.

Домножим первое уравнение системы на двойку, приравняем ко второму, получим

$2y+4x=y-x,$

$y=-5x$

Это будет прямая, целиков состоящая из точек пересечения графиков уравнений системы при разных значениях параметра. Если хотите, точка пересечения "скользит" по этой прямой при разных a

Как именно скользит? При уменьшении a очевидно смещается вниз. В прикрепленном файле графики уравнений системы нарисованы как черные линии, прямая их скольжения как оранжевая пунктирная линия.

Теперь рассмотрим то третье уравнение. Его график показан как голубая линия, он пересекается с графиком одного из уравнений системы. Нас интересует как ведет себя точка пересечения в зависимости от параметра a Аналогично находим прямую скольжения, она задается как $y=3x+3$ На графике эта прямая показана как голубая пунктирная линия. При уменьшении a точка пересечения съезжает по ней вниз.

Далее, теперь опять считаем что нам даны неравенства. Все, что лежит выше ломаной (или на ней), образованной двумя черными прямыми - решение системы. Все что выше голубой линии (строго выше) - решение третьего неравенства. Случай, показанный в прикрепленном файле, соответствует поставленной задаче: каждое решение системы является решение того неравенства.

Граничным значением параметра будет то, при котором все три прямые пересекутся в 1 точке (точке пересечения пунктирных прямых). Мы знаем уравнения пунктирных прямых, не сложно найти точку их пересечения $x=-3/8,y=15/8$

Подставим в любое из уравнений, получим $a=9/8$

Таким образом, при $a>9/8$ каждое решение системы будет решением неравенства.

Почему не подходит a=9/8 ? Потому что при таком параметре точка пересечения всех трех кривых будет решением системы (там нестрогое неравенство), но не будет решением третьего неравенства (она лежит на прямой, а надо чтоб была строго выше этой прямой)