Question

Из той же оперы...
В принципе, ничего сложного, но все же не уверен, что решу.
Прошу решение.

Answer 1

$7.\; \; \; y'''+6y''+9y'=0\\\\k^3+6k^2+9k=0\\\\k\cdot (k^2+6k+9)=0\\\\k\cdot (k+3)^2=0\\\\k_1=0\; ,\; \; k_2=k_3=-3\\\\y_{obsh.odnor.}=C_1\cdot e^{0\cdot x}+C_2\cdot e^{-3x}+C_3\cdot x\cdot e^{-3x}\\\\y_{obsh.odnor.}=C_1+e^{-3x}\cdot (C_2+C_3x)$

$8.\; \; \; y''-4y'+4y=x^2-3\\\\a)\; \; y''-4y'+4y=0\\\\k^2-4k+4=0\; ,\; \; (y-2)^2=0\; ,\;\; k_1=k_2=2\\\\y_{obsh.odnor.}=e^{2x}\cdot (C_1+C_2x)\\\\b)\; \; f(x)=(x^2-3)\cdot e^{0\cdot x}\; \; \to \; \; \alpha =0\ne 2=k_1=k_2\; \to \; r=0\\\\y_{chastn.resh.}=Q_2(x)\cdot x^{r}\cdot e^{0\cdot x}=Ax^2+Bx+C\\y'=2Ax+B\\y''=2A\\---------------------------\\y''-4y'+4y=2A-8Ax-4B+4Ax^2+4Bx+4C=x^2-3\\\\x^2\; |\; 4A=1\; ,\; \; A=\frac{1}{4}\\x\; \; |\; 4B-8A=0\; ,\; \; B=2A=2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}\\x^0\; |\; 2A-4B+4C=-3\; ,\; C=\frac{1}{4}\cdot (-3-2A+4B)\\C=\frac{1}{4}\cdot (-3-\frac{1}{2}+2)=-\frac{3}{8}$

$y_{chastn.resh.}=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{3}{8}=\frac{1}{8}\cdot (2x^2+4x-3)\\\\y_{obsh.neodn.}=e^{2x}\cdot (C_1+C_2x)+\frac{1}{8}\cdot (2x^2+4x-3)$