Question

lim x → 0
(6-5/cosx)^ctg^2(x^2)

Answer 1

Если подставить х=0, то получим неопределенность $\{1^{\infty}\}$. Тогда можем применить второй замечательный предел.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \bigg(6-\frac{5}{\cos x}\bigg)^{ctg^2x^2}=\lim_{x \to 0} \bigg(1+\frac{5\cos x-5}{\cos x}\bigg)^{ctg^2x^2\cdot\frac{5\cos x-5}{\cos x}\cdot\frac{\cos x}{5\cos x-5}} =\\ \\ \\ =e^\big{\lim_{x \to 0} \frac{5(\cos x-1)}{tg^2x^2\cos x}} =e^\big{\lim_{x \to 0} \frac{-10\sin^2\frac{x}{2}}{x^4}} =e^\big{\lim_{x \to 0}\frac{-10\cdot\frac{x^2}{4}}{x^4} } =e^{-\infty}=0$