Question

Найди остаток от деления 33^35 на 15

Answer 1

Преобразуем:

$33^{35}=(3 \cdot 11)^{35}=3^{35}\cdot11^{35}\\ \dfrac{3^{35}\cdot11^{35}}{15}=\dfrac{3^{35} \cdot 11^{35}}{3 \cdot 5}=\dfrac{3^{34}\cdot11^{35}}{5}$

Чтобы найти остаток от деления, нам нужно узнать, какой цифрой оканчивается произведение $3^{34}\cdot 11^{35}$. Очевидно, что число $11^{35}$ оканчивается на 1, так как 1 в любой степени равняется 1. Для числа 3 найдем закономерность:

$3^0=\boxed1\\ 3^1=\boxed3\\ 3^2=\boxed9\\ 3^3=2\boxed7\\ 3^4=8\boxed1\\ 3^5=24\boxed3\\ 3^6=72\boxed9\\ 3^7=218\boxed7\\ ...$

и т.д. Значит число $3^{34}$ оканчивается на цифру 9, тогда остаток от деления получаем (9·1)/5 ⇒ ост. 4

Теперь умножим остаток на 3, которую мы сократили при преобразованиях 4·3=12

Ответ: 12