Question

Найти сумму в градусах корней уравнения принадлежащих промежутку (0;90градусов)
решить решил а как корни отобрать
$sin5x+sinx+2cos^{2}x=1$

Answer 1

$(\sin5x+\sin x)+2\cos^2x=1\\ 2\sin3x\cos2x+1+\cos 2x=1\\ 2\sin3x\cos2x+\cos2x=0\\ \cos2x(2\sin3x+1)=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$\cos2x=0\\ 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}\\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z}\\ \\ \sin 3x=-0.5\\ x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{18} +\frac{\pi k}{3},k \in \mathbb{Z}$

Перейдем в градусах для первого и второго корней.

$x_1=45а+90аn\\ x_2=(-1)^{k+1}\cdot10а+60аn$

Отберем корни принадлежащих промежутку (0;90°):

$n=0;~~ x=45а\\ k=1;~~ x=70а$

Сумма корней: 45° + 70° = 115°