Question

помогите решить диф. уравнение. даю 20 баллов. нужно второе

Answer 1

Это уравнение можно переписать как $x^2y'=y^2+xy$ - однородное уравнение, так как выполняется условие однородности.

Пусть $y=ux$, тогда дифференцируя(по формуле дифференцирования произведения двух функций):

$y'=u'x+u$ и подставим в уравнение

$x^2(u'x+u)=u^2x^2+ux^2\\ u'x+u=u^2+u\\ u'x=u^2$

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

$\displaystyle \int \frac{du}{u^2} =\int\frac{dx}{x} ~~\Rightarrow~~-\frac{1}{u} =\ln |x|+C$

Обратная замена:

$-\dfrac{x}{y} =\ln |x|+C$ - ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ