Question

Ответьте, пожалуйста, с объяснением и указанием использованных формул. Спасибо.

Answer 1

C1.
$4 \times (1 + { \sin(x) }^{2} ) \times ( 1 + { \cos(x) }^{2} ) = 4 \times (1 + { \sin(x) }^{2} + { \cos(x) }^{2} + { \sin(x) }^{2} \times \ { \cos(x) }^{2}$
По основному тригонометрическому тождеству получаем:
$4 \times (1 + 1 + { \sin(x) }^{2} \times { \cos(x) }^{2} )$
Так как
${ \sin(x) }^{2} \times { \cos(x) }^{2} = \frac{1}{4} \times 4 \times { \sin(x) }^{2} \times { \cos(x) }^{2} = \frac{1}{4} \times( {2 \times \sin(x) \times \cos(x) ) }^{2} = \frac{1}{4} \times \ { \sin(2 \times x) }^{2}$
То наше выражение можно упростить и получить:
$4 \times (2 + \frac{1}{4} \times { \sin(2 \times x) }^{2} )$
Раскрыв скобки, получим:
$8 + { \sin(2 \times x) }^{2}$
Очевидно, что максимум этой функции равен 9. Также заметим, что минимум правой части равенства равен
$log_{2}(512) = 9$
Отсюда следует, что второе слагаемое под логарифмов равно нулю. Это происходит только если числитель равен нулю. То есть
${ \sin(4 \times x) }^{2} = 0$
$\sin(4 \times x) = 0$
$4 \times x = \pi \times n$
где n- целое
$x = \frac{\pi \times n}{4}$
Осталась лишь подстановка, но я считаю, что ты справишься)
C2.Возведём обе части уравнения в квадрат. Получим:
$|x - 2| = a \times x + 1$
Ещё раз возведём уравнение в квадрат
${x}^{2} - 4 \times x + 4 = {a}^{2} \times {x}^{2} + 2 \times a \times x + 1$
Приведём наше уравнение к квадратному:
${x}^{2} \times (1 - {a}^{2} ) + x \times ( - 4 - 2 \times a) + 3 = 0$
Если a=+-1, то наше уравнение станет линейным и будет иметь всего лишь 1 корень максимум.
Следовательно a не равно 1 или -1, а значит наше уравнение квадратное.
Условием для нескольких корней является дискрминант. Он должен быть больше нуля. То есть:
$({4 + 2 \times a})^{2} - 4 \times 3 \times (1 - {a}^{2} ) > 0$
Раскрываем скобки и упрощаем неравенство. Получаем:
$4 \times {a}^{2} + 4 \times a + 1 = ( {2 \times a + 1})^{2} > 0$
Данное неравенство выполняется при всех а, кроме а=-0.5
Таким образом ответ: a не равно 1, -1 и -0.5.
Если есть вопросы, то не стесняйся задавать. Помогу, чем смогу)