Question

Если что,в ответе просят написать число,а не формулу :)

Answer 1

Можно и без пределов...

Пусть $S = \frac{1}{3}+\frac{3}{3^{2}}+...+\frac{2n-1}{3^{n}}+...$; Заметим, что $S = \frac{1}{3}+\frac{3}{3^{2}}+...+\frac{2n-1}{3^{n}}+...=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+...+\frac{1}{3^{n}}+...+\frac{2}{3^{2}}+\frac{4}{3^{3}}+...+\frac{2n}{3^{n+1}}+...$; Первая часть - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/3; Ее сумма равна 1/2; Распишем подобным образом и вторую часть суммы: $\frac{2}{3^{2}}+\frac{4}{3^{3}}+...+\frac{2n}{3^{n+1}}+...=\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+...+\frac{1}{3^{n+1}}+...+\frac{1}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+...+\frac{2n-1}{3^{n+1}}+...$; Опять же - первая часть бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/3, ее сумма равна 1/6; Вторая часть суммы, как несложно заметить, равна S/3; В итоге получаем: $\frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{S}{3}=S \Leftrightarrow \frac{2}{3}S=\frac{2}{3}\Leftrightarrow S=1$