Question

Какова наибольшая возможная площадь у треугольника со сторонами a,b,c если известно, что $a \leq 2 \leq b \leq 3 \leq c \leq 4$ ?

Answer 1

Пусть угол между сторонами a и b равен φ. Тогда площадь треугольника равна $\frac{1}{2}ab\sin \varphi$; Пусть произведение ab максимально, то есть равно 6. Сторона c не участвует в формировании величины площади. Однако от c зависит максимальность синуса. По теореме косинусов: $a^{2}+b^{2}-2ab\cos \varphi = c^{2}$; Подставив максимальные значения a и b, а также минимальное значение косинуса ⇔ максимальное значение синуса, придем к тому, что $13=c^{2} \Leftrightarrow c=\sqrt{13}$, при этом значение c лежит в диапазоне. Итак, максимальная площадь треугольника равна $\frac{1}{2}\times 2 \times 3 \times \sin 90^{0}=3$