Question

Найти градиент скалярного поля u(x, y, z) в точке М0(2,1,1).Вычислить производную этого поля в точке М0 по направлению вектора i=-2i+j-k

Answer 1

1) $grad\ u=\frac{\partial u}{\partial x} \vec{i} +\frac{\partial u}{\partial y} \vec{j} +\frac{\partial u}{\partial z} \vec{k}$

$u=x+\ln(y^2+z^2)\\ \frac{\partial u}{\partial x} =1;\ \frac{\partial u}{\partial y} =\frac{2y}{y^2+z^2} ;\ \frac{\partial u}{\partial z} =\frac{2z}{y^2+z^2} \\ M_o(2;1;1) \Rightarrow x=2;\ y=1;\ z=1 \\ \frac{\partial u}{\partial x} (M_o) =1;\ \frac{\partial u}{\partial y} (M_o) =\frac{2*1}{1^2+1^2}=1;\ \frac{\partial u}{\partial z} (M_o) =\frac{2*1}{1^2+1^2}=1;$

Градиент u в точке (2;1;1): $grad\ u (M_o)= 1 \vec{i} + 1 \vec{j} + 1 \vec{k} = \vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$

2) $|grad\ u(M_o)| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} =\sqrt{3}$

Для вектора $\vec{p}=(-2;1;1)$ $\Rightarrow |\vec{p}|=\sqrt{4+1+1} =\sqrt{6}$

Направляющие углы:

$\cos \alpha =\frac{-2}{\sqrt{6}} ;\ \cos \beta =\frac{1}{\sqrt{6}} ;\ \cos \gamma =\frac{-1}{\sqrt{6}}$

Производная поля в точке (2;1;1) по направлению вектора р:

$\frac{\partial u}{\partial p} =\frac{\partial u}{\partial x}(M_o) \cos \alpha +\frac{\partial u}{\partial y}(M_o) \cos \beta +\frac{\partial u}{\partial z}(M_o) \cos \gamma =\\ = 1 \cdot (-\frac{2}{\sqrt{6}} )+1 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} +1 \cdot (-\frac{1}{\sqrt{6}} )=-\frac{2}{\sqrt{6}} =-\frac{\sqrt{6}}{3}$