Question

Высота AH и биссектриса BL в треугольнике ABC пересекаются в точке К. При этом AK = 4, KH = 2, BL = 11. Найти длину стороны BC

Answer 1

По свойству биссектрис: BH/AB=KH/AK = 1/2; Значит ∠B=60°; ∠BAH = 30°, ∠ABK = 30° ⇔ BK=AK=4. Тогда KL=7; Проведем еще одну высоту к стороне BC. Обозначим ее LT; Из подобия треугольников BKH и BLT имеем: LT/KH = BL/BK = 11/4 ⇔ LT = KH×11/4 = 11/2; Из подобия треугольников LTC и AHC: LT/AH = LC/AC = 11/12; Значит LC/AL = 11; По свойству биссектрис LC/AL = BC/AB = 11 ⇔ BC = 11AB; AB = 6/sin60° = 12/√3=4√3; Значит BC = 44√3