Question

доказать непрерывность функции y =1/(x-1) в точке x=3

Answer 1

Условие непрерывности по Гейне: $\displaystyle \lim_{зx \to \infty} [f(a+зx)-f(a)]=\lim_{зx \to 0}зy=0$, где а - точка в котором нужно исследовать и $зx,~зy$ - малые приращения

$f(3)=\dfrac{1}{3-1} =\dfrac{1}{2}$ и $f(3+зx)=\dfrac{1}{3+зx-1}=\dfrac{1}{2+зx}$

$зy=f(3+зx)-f(3)=\dfrac{1}{2+зx} -\dfrac{1}{2} =\dfrac{2-2-зx}{2(2+зx)} =-\dfrac{зx}{2(2+зx)}$

Переходя к пределу

$\displaystyle \lim_{зx \to 0}зy=\lim_{зx \to 0}\bigg(-\frac{зx}{2(2+зx)}\bigg)=0$

Таким образом , функция f(x)=1/(x-1) является непрерывной в точке х=3.