Question

Найти решение задачи Коши и проверить. Даю 100 баллов

Answer 1

Попробуем угадать вид решения.

Заметим, что система переходит в себя при сдвиге x на π, значит, решение – периодическая по x функция с периодом, кратным π. Мысленно разложим это решение в ряд Фурье по 2x. Разные слагаемые в этом ряду ортогональны; поскольку в системе есть только слагаемые, пропорциональные 1 и cos 2x, то в решении все остальные коэффициенты будут тождественно равны нулю.

Будем искать решение в виде u(x, t) = A(t) + B(t) cos 2x. Подставляем:

$\begin{cases} A''+B''\cos2x=-16B\cos2x+\dfrac12+\dfrac12\cos2x\\ A(0)+B(0)\cos2x=\dfrac12-\dfrac12\cos 2x\\ A'(0)+B'(0)\cos 2x=\dfrac12+\dfrac12\cos2x \end{cases}$

$\begin{cases} \left(A''-\dfrac12\right)+\left(B''+16B-\dfrac12\right)\cos2x=0\\ \left(A(0)-\dfrac12\right)+\left(B(0)+\dfrac12\right)\cos2x=0\\ \left(A'(0)-\dfrac12\right)+\left(B'(0)-\dfrac12\right)\cos2x=0 \end{cases}$

Приравнивая скобки к нулю, получаем две задачи Коши на коэффициенты A и B.

1) A(t):

$\displaystyle\begin{cases} A''=\dfrac12\\ A(0)=\dfrac12\\ \,A'(0)=\dfrac12 \end{cases}\\ A'(t)=A'(0)+\int_0^tA''(t)\,dt=\frac12+\frac t2\\ A(t)=A(0)+\int_0^tA'(t)\,dt=\frac12+\frac t2+\frac{t^2}4=\frac14(t^2+2t+2)$

2) B(t):

$\displaystyle\begin{cases} B''+16B=\dfrac12\\ B(0)=-\dfrac12\\ B'(0)=\dfrac12 \end{cases}$

Общее решение уравнения B(t) = С cos 4t + D sin 4t + 1/32. Подставив решение в начальные условия, находим, что C = -(1/32 + 1/2) = -17/32; D = 1/2 : 4 = 1/8.

Итак, B(t) выглядит так:

$\displaystyle B(t)=-\frac{17}{32}\cos4t+\frac18\sin4t+\frac1{32}=\frac1{32}(4\sin4t-17\cos4t+1)$

Окончательно

$\displaystyle\boxed{u(x,t)=\frac14(t^2+2t+2)+\frac1{32}(4\sin4t-17\cos4t+1)\cos2x}$

Проверка:

$u_{tt}=\dfrac14\cdot2-\dfrac1{32}\cdot16(4\sin4t-17\cos4t)\cos2x=\dfrac12-\dfrac12(4\sin4t-\\-17\cos4t)\\ 4u_{xx}=-4\cdot\dfrac1{32}\cdot4(4\sin4t-17\cos4t+1)\cos2x=-\dfrac12(4\sin4t-\\-17\cos4t+1)\\ u_{tt}-4u_{xx}=\dfrac12+\dfrac12\cos2x=\cos^2x$

$u(x,0)=\dfrac14(0+0+2)+\dfrac1{32}(0-17+1)\cos2x=\dfrac12-\dfrac12\cos2x=\sin^2x$

$u'(x,0)=\dfrac14(0+2+0)+\dfrac1{32}(16-0+0)\cos2x=\dfrac12+\dfrac12\cos2x=\cos^2x$