Question

в треугольнике авс взята произвольная точка о докажите что ао+во+со меньше периметра треугольника

Answer 1

Максимальное значение AO+BO+CO принимает тогда, когда O - центр описанной окружности треугольника. То есть AO+BO+CO = 3R;

Пусть α, β, γ - углы треугольника. Поскольку точка О лежит внутри треугольника, то треугольник остроугольный. Минимальное значение периметра установим по теореме синусов: $P=2R\sin \alpha+2R\sin \beta +2R\sin \gamma$; При этом $P_{min}=2R\frac{\sqrt{3}}{2}+2R\frac{\sqrt{3}}{2}+2R\frac{\sqrt{3}}{2}=3R\sqrt{3}>3R$, что и требовалось