Question

В прямоугольный треугольник,один из углов которого равен $\pi /6$,случайным образом бросается точка.Какова вероятность того,что она окажется внутри вписанной в треугольник окружности?

Answer 1

.......................

Answer 2

Пусть гипотенуза АВ = а, тогда против угла 30°, катет АС в два раза меньше за гипотенузу, то есть: $AC=\frac{a}{2}$ и тогда по т. Пифагора:

$BC=\sqrt{AB^2-AC^2} =\sqrt{a^2-(\frac{a}{2} )^2} =\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

$r=\dfrac{AC+BC-AB}{2}=\frac{\frac{a}{2} +\frac{a\sqrt{3}}{2}-a }{2} =\frac{a(\sqrt{3}-1)}{4}$

Площадь круга вписанного в прямоугольный треугольник, равна:

$S_1=\pi r^2=\pi \cdot(\frac{a(\sqrt{3}-1)}{4} )^2=\pi \cdot\frac{a^2(4-2\sqrt{3})}{16}=\frac{\pi a^2(2-\sqrt{3})}{8}$

Площадь прямоугольного треугольника:

$S_1=\dfrac{AC\cdot BC}{2} =\dfrac{\frac{a}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} =\dfrac{a^2\sqrt{3}}{8}$

Искомая вероятность: $P=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\frac{\pi a^2(2-\sqrt{3})}{8} }{\frac{a^2\sqrt{3}}{8}} =\dfrac{\pi(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}}=\dfrac{\pi(2\sqrt{3}-3)}{3}$