Question

Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
0, x<=0;
F(x)= x^2/4, 0 1, x>2.

Answer 1

$f(x)=F'(x)\\\\F(x)=\left\{\begin{array}{l}0\; ,\; esli\; x\leq 0\; ,\\\frac{x^2}{4}\; ,\; esli\; 0<x<2\; ,\\1\; ,\; esli\; x>2\; .\end{array}\right\\\\(\frac{x^2}{4})'=\frac{1}{4}\cdot 2x= \frac{x}{2}\\\\f(x)=\left\{\begin{array}{l}0\; ,\; esli\; x\leq 0\; ,\\\frac{x}{2}\; ,\; esli\; 0<x<2\; ,\\0\; ,\; esli\; x>2\; .\end{array}\right$

$M(X)=\int \limits _0^2\, x\cdot \frac{x}{2}\, dx= \frac{x^3}{6}\Big |_0^2= \frac{8}{6}=\frac{4}{3}\\\\D(X)= \int\limits^2_0 x^2\cdot \frac{x}{2}\, dx-(M(X))^2= \frac{x^4}{8}\Big |_0^2- \frac{16}{9}=2-\frac{16}{9}=\frac{2}{9}$