Question

нужно решить интегралы

Answer 1

$1)\; \; \int \limits _1^8log_8x\, dx=[\, u=log_8x\; ,\; du=\frac{dx}{x\, ln8}\; ,dv=dx,\; v=x\, ]=\\\\=[\, \int u\, dv=uv-\int v\, du\, ]=x\cdot log_8x\Big |_1^8-\int\limits^8_1\, \frac{dx}{ln8}=\\\\=8\cdot log_88-1\cdot log_81-\frac{1}{ln8}\cdot x\Big |_1^8=8-\frac{1}{ln8}\cdot (8-1)=\\\\=8-\frac{7}{ln8}$

$2)\; \; \int \frac{1}{\sqrt{x}}\cdot cos\sqrt{x}\, dx=\int cos\sqrt{x}\cdot \frac{dx}{\sqrt{x}}=\\\\=[\, t=\sqrt{x}\; ,\; dt=\frac{dx}{2\sqrt{x}}\; ,\; 2\, dx=\frac{dx}{\sqrt{x}}\, ]=\\\\=2\int cost\, dt=2sint+C=2sin\sqrt{x}+C$