Question

знайдіть геометричну прогресію, яка містить 6 членів, якщо суматрьох перших її членів дорівнює 168,а сума трьох останніх дорівнює 21

Answer 1

Составляем и решаем систему уравнений по условию:

$\left \{ {{b_4+b_5+b_6=21} \atop {b_1+b_2+b_3=168}} \right. \ \ \to \ \left \{ {{b_1q^3+b_1q^4+b_1q^5=21} \atop {b_1+b_1q+b_1q^2=168}} \right. \ \ \to \ \left \{ {{b_1q^3(1+q+q^2)=21} \atop {b_1(1+q+q^2)=168}} \right.$

делим верхнее уравнение на нижнее, получаем:

$\cfrac{{b_1q^3(1+q+q^2)}}{b_1(1+q+q^2)}=\cfrac{21}{168} \ \ \ \to \ \ q^3=\cfrac{1}{8} \ \ \to \ \ q=\cfrac{1}{2}=0.5$

находим первый член:

b₁(1 + q + q²) = 168

b₁(1 + 0,5 + 0,5²) = 168

b₁(1 + 0,5 + 0,25) = 168

b₁*1,75 = 168

b₁ = 168/1,75

b₁ = 96

находим остальные члены:

b₂ = b₁q = 96 * 0.5 = 48

b₃ = b₂q = 48 * 0.5 = 24

b₄ = b₃q = 24 * 0.5 = 12

b₅ = b₄q = 12 * 0.5 = 6

b₆ = b₅q = 6 * 0.5 = 3

Ответ: 96; 48; 24; 12; 6; 3

Проверим:

96 + 48 + 24 = 168 - сумма первых трёх членов

12 + 6 + 3 = 21 - сумма последних трёх.

Answer 2

$b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ \left \{ {{b_1+b_2+b_3=168}, \atop {b_4+b_5+b_6=21};} \right. \ ==> \ \left \{ {{b_1+b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=168,} \atop {b_1\cdot q^3+b_1\cdot q^4+b_1\cdot q^5=21;}} \right. \ ==> \ \left \{ {{b_1\cdot\left(1+q+q^2\right)=168,} \atop {b_1\cdot\left(q^3+q^4+q^5\right)=21;}} \right.\\ \left \{ {{b_1\cdot\left(1+q+q^2\right)=168,} \atop {b_1\cdot q^3\left(1+q+q^2\right)=21;}} \right. \\ b_1\cdot\left(1+q+q^2\right)=168\ ==> \\ b_1\cdot q^3\left(1+q+q^2\right)=21\\ q^3\cdot168=21$

$q^3=\frac{21}{168}=\frac{3\cdot7}{7\cdot24}=\frac{3}{24}=\frac18;\\ q=\sqrt[3]{\frac18}=\frac12;\\ b_1(1+q+q^2)=168==>b_1=\frac{168}{1+\frac12+\frac14}=;\\ b_1=\frac{168}{\frac{4+2+1}{4}}=\frac{672}{7}=96;\\ b_n=b_1\cqrt q^{n-1};\\[tex] b_1=96;\\ b_2=96\cdot \frac12=48;\\ b_3=96\cdot\frac14=24;\\ b_4=96\cdot\frac18=12;\\ b_5=96\cdot\frac1{16}=6;\\ b_6=96\cdot\frac1{32}=3;$
перевіримо

$b_1+b_2+b_3=96+48+24=168\\ b_4+b_5+b_6=12+6+3=21$

Відповідь:$96,\ 48,\ 24,\ 12,\ 6,\ 3.$