Question

Решите 2 задания.40 баллов

Answer 1

1. По первому признаку Лейбница каждый последующий член меньше предыдущего - это очевидно.

По второму признаку Лейбница: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3n-4}=0$ - выполняется условие.

Значит, ряд будет сходится.

Исследуем теперь ряд на абсолютность. Возьмем наш ряд по модулю

$\displaystyle \bigg|\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{3n-4} \bigg|=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{3n-4}$ - гармонический ряд, который является расходящимся.

Следовательно, данный ряд будет сходиться условно.

2. $y''-4y'+3y=0$

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, однородное.

Пусть $y=e^{kx}$, тогда получим характеристическое уравнение:

$k^2-4k+3=0$

$k_1=3\\ k_2=1$

Общее решение: $y=C_1e^{x}+C_2e^{3x}$