Question

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

Answer 1

Ряд сходится условно, т.к. все условия признака Лейбница выполняются, а ряд составленный из абсолютных величин является обобщённо гармоническим расходящимся рядом.

$\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, (-1)^{n+1}\frac{1}{n^{1/4}}\\\\1)\; \; Leibniz:\; \; a)\; \; \lim\limits _{n \to \infty}\, |a_n |=\lim\limits _{n \to \infty}\,\frac{1}{n^{1/4}}=0\\\\b)\; \; |a_1|>|a_2|>...>|a_{n}|>...\\\\1>\frac{1}{\sqrt[4]{2}}>\frac{1}{\sqrt[4]3}>...>\frac{1}{\sqrt[4]{n}}>...\\\\2)\; \; |a_{n}|=\frac{1}{n^{1/4}}\; ,\; \; \alpha =\frac{1}{4}<1\; \; \Rightarrow \; \; ryad\; rasxoditsya\\\\\sum \limits _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\frac{1}{n^{1/4}}\; \; \; yslovno\; sxoditsya$

Answer 2

1. Первое условие признака Лейбница выполняется, т.е. $1>\frac{\sqrt[4]{2^3}}{2} >\frac{\sqrt[4]{3^3}}{3}$ каждый последующий член ряда меньше предыдущего

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{1/4}} =0$

По признаку Лейбница ряд сходится.

Проверим теперь на абсолютность сходимости ряда, взяв ряд по модулю

$\displaystyle \bigg|\sum^{\infty} _{n=1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^{1/4}} \bigg|= \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^{1/4}}$

И этот ряд расходится, следовательно данный ряд сходится условно.