Question

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: а) найти общее решение; б) решить задачу Коши.

Answer 1

$1)\; \; x\, dy-y\, dx=\sqrt{x^2+y^2}\, dx\\\\x\, dy=(\sqrt{x^2+y^2}+y)\, dx\\\\\frac{dy}{dx} =\frac{\sqrt{x^2+y^2}+y}{x}\; ,\; \; \; y'=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}+\frac{y}{x}\; ,\; \; y'=\sqrt{1+(\frac{y}{x})^2}+\frac{y}{x}\\\\t=\frac{y}{x}\; ,\; \; y=tx\; ,\; \; y'=t'x+t\\\\t'x+t=\sqrt{1+t^2}+t\\\\t'=\frac{\sqrt{1+t^2}}{x}\; ,\; \; \frac{dt}{dx}=\frac{\sqrt{1+t^2}}{x}\; ,\; \; \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}=\int \frac{dx}{x}\\\\ln|t+\sqrt{1+t^2}|=ln|x|+lnC\\\\t+\sqrt{1+t^2}=Cx\\\\\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=Cx$

$\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}=Cx\\\\y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2$

$2)\; \; (1+e^{x})\, yy'=e^{x}\\\\y'=\frac{e^{x}}{y(1+e^{x})}\; ,\; \; \frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{y(1+e^{x})}\\\\\int y\, dy=\int \frac{e^{x}\, dx}{1+e^{x}}\; \; \; \; [\; d(1+e^{x})=e^{x}\, dx\; ]\\\\\frac{y^2}{2}=ln|1+e^{x}|+C\\\\y(0)=1:\; \; \frac{1}{2}=ln2+C\; \; \to \; \; C=\frac{1}{2}-ln2\\\\\frac{y^2}{2}=ln|1+e^{x}|+\frac{1}{2}-ln2\\\\y^2=2\, ln(1+e^{x})+1-2\, ln2\\\\y^2=ln(1+e^{x})^2-ln4+1\\\\y^2=ln\, \frac{(1+e^{x})^2}{4}+1$