Question

Дети решали задачи. Каждую задачу решила хотя бы половина ребят. Каждый ребенок решил не более половины задач. Докажите, что детей было черное число.

Answer 1

Пусть у нас x ребят и n задач. Предположим, что x нечетно. Поэтому каждую задачу решило хотя бы (x+1)/2 ребенка. Найдем среднее количество решенных задач: $n_{m} = \frac{n(x+1)}{2x}$. Заметим также, что $\frac{n(x+1)}{2x}\ \textgreater \ \frac{n}{2}$, поскольку $\frac{x+1}{x}\ \textgreater \ 1$. То есть среднее количество решенных задач больше их половины. По условию, каждый ребенок решил не более половины задач, то есть среднее количество решенных задач не превосходит их половины. Противоречие. Значит x - четно