Question

Может ли быть точным квадратом число, запись которого состоит из единицы, двух двоек, трех троек, четырех четверок..... девяти девяток

Answer 1

Не может.

Сумма цифр числа даёт такой же остаток при делении на 9, что и само число. Поскольку сумма цифр 1*1 + 2*2 + 3*3 + ... + 9*9 = 285 даёт остаток 6 при делении на 9, то и само число даёт остаток 6 при делении на 9.

Но полные квадраты могут давать только такие остатки:
– квадраты чисел вида 9k, 9k + 3, 9k + 6: остаток 0
– квадраты чисел вида 9k + 1, 9k + 8: остаток 1
– квадраты чисел вида 9k + 2, 9k + 7: остаток 4
– квадраты чисел вида 9k + 4, 9k + 5: остаток 7

Значит, исходное число не является полным квадратом.