Question

Вычислить двойной интеграл.$\int\limits\,\int\limits_D {xy} \, dxdy, D: y=x^3, y=0, x=2$

Answer 1

$\iint\limits_{D}\, xydx\, dy=\int\limits^2_0\, dx\int\limits^{x^3}_0\, xy\, dy= \int\limits^2_0\, x\cdot \Big ( \frac{y^2}{2}\Big |_0^{x^3}\Big ) dx=\\\\=\frac{1}{2}\int\limits^2_0\, x\cdot \Big ((x^3)^2-0\Big )dx=\frac{1}{2}\int\limits^2_0\, x^7\, dx=\frac{1}{2}\cdot \frac{x^8}{8}\Big |_0^2=\frac{1}{2\cdot 8}\cdot 256=16$