Question

Помогите пожалуйста, не понимаю эту тему. С объяснением если можно)))

Answer 1

$\int \limits_{1}^{2}\ (2+x^2)dx = (2x+ \frac{x^3}{3} ) \big | _{1}^{2} = (4+ \frac{8}{3} )-(2+ \frac{1}{3})=2+ \frac{7}{3}=2 \frac{1}{3}$

$\int \limits_{0}^{ \pi }\ \sin 3x dx =(- \frac{1}{3} \cos 3x) \big | _{0}^{ \pi } = -\frac{1}{3}(\cos 3 \pi - \cos 0 )=-\frac{1}{3}*(-1-1) = \frac{2}{3}$

$\int \limits_{1}^{2}\ x \ln x dx = \frac{1}{2} \int \limits_{1}^{2}\ \ln x d(x^2) = \frac{1}{2} (x^2 \ln x) \big | _{1}^{2} - \frac{1}{2} \int \limits_{1}^{2} x^2 d( \ln x ) =\\ = \frac{1}{2} (4 \ln 2 - \ln 1) - \frac{1}{2} \int \limits_{1}^{2} x dx = 2\ln 2 - \frac{x^2}{4} \big | _{1}^{2} = 2\ln 2 - (1-\frac{1}{4}) =\\ = 2\ln 2 -\frac{3}{4}$

$\int \limits_{0}^{2}\ e^{-x^2} x dx = - \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{2}\ e^{-x^2}d(-x^2) = \Big [ t= -x^2 \Big ] = - \frac{1}{2} \int \limits_{0}^{-4}\ e^tdt = \\ = \frac{1}{2} \int \limits_{-4}^{0}\ e^tdt = \frac{1}{2} e^t \big | _{-4}^{0} = \frac{1}{2} (1-e^{-4}})$