Question

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой 4см и
острым углом 30°. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью
основания угол 60°. Найти объем пирамиды.

Answer 1

На основе задания определяем:
- катет основания против угла 30 градусов равен 4*(1/2) = 2 см,
- второй катет равен 4*cos 30° = = 4*(√3/2) = 2√3 см.
Площадь основания Sо = (1/2)*2*2√3 = 2√3 см².
Полупериметр основания р = (2+2√3+4)/2  = 3+√3 см.
Радиус вписанной окружности r = So/p = 2√3/(3+√3) см.
Так как угол наклона боковых граней к основанию одинаков (по 60°), то проекции всех высот боковых граней - это и есть радиус вписанной окружности.
Тогда высота пирамиды H = r*tg 60° = (2√3/(3+√3))*√3 = 6/(3+√3) см.

Получаем ответ:
V = (1/3)SoH = (1/3)*(2√3)*(6/(3+√3)) = (4√3)/(3+√3) ≈  1,4641016 см³.