Question

Интегралы............................................

Answer 1

Для того чтоб решить интеграл воспользуемся формулой интегрирования по частям

$\displaystyle \int {U(x)dV(x) \, dx =U(x)*V(x)-\int V(x)dU(x)dx$

выполним замену

$\displaystyle U(x)=x^2; dU(x)=2xdx\\\\dV(x)= \frac{1}{ \sqrt[3]{8-x}};\\\\ V=\int (8-x)^{-1/3}dx= (8-x=t;-dx=dt)=\int -t^{1/3} dt= - \frac{3}{2}t^{2/3}=\\\\=- \frac{3}{2}(8-x)^{2/3}$

теперь подставляем с формулу

$\displaystyle \int \frac{x^2}{ \sqrt[3]{8-x}}dx=x^2*(- \frac{3}{2}(8-x)^{2/3})- \int - \frac{3}{2}(8-x)^{2/3}*2xdx=\\\\=- \frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}+3\int x(8-x)^{2/3}dx$

теперь с интегралом опять проделаем такую же операция (интегрирование по частям)

$\displaystyle U(x)=x; dU(x)=dx\\\\dV(x)=(8-x)^{2/3};\\\\V=\int (8-x)^{2/3}dx=(8-x=t; -dx=dt)=\int -t^{2/3}dt=\\\\=- \frac{3}{5}t^{5/3}=- \frac{3}{5}(8-x)^{5/3}$

продолжим наше решение
$\displaystyle \int \frac{x^2}{ \sqrt[3]{8-x}}dx= \\\\= \frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}+3 \bigg (- \frac{3}{5}x(8-x)^{5/3}-\int \frac{-3}{5}(8-x)^{5/3}dx \bigg)=\\\\= \frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}- \frac{9x}{5}(8-x)^{5/3}+ \frac{9}{5}\int(8-x)^{5/3}dx=$
пользуясь опять заменой 8-x=t; -dx=dt легко вычислить последний интеграл

$\displaystyle = \frac{3x^2}{2}(8-x)^{2/3}- \frac{9x}{5}(8-x)^{5/3}- \frac{27}{40}(8-x)^{8/3}+C$