Question

Точка Р делит сторону АС треугольника АВС В отношении АР: РС = 5: 1, Точка S делит сторону АВ В отношении AS : SB = 4:3, Точка D отложена на продолжении стороны ВС, причем BD: BC 2:3 Прямая PS пересекает отрезок AD В Точке К. Найдите AK:KD u PS: SK.

Answer 1

Пусть прямая KP пересекается с прямой BC в точке F (не влезло в рисунок);
Тогда по теореме Менелая имеем: 
$\frac{3y}{4y}\times \frac{5x}{x}\times \frac{CF}{CF+BC}=1 \Leftrightarrow \frac{CB}{FC}= \frac{11}{4}$
Отсюда же устанавливаем, что $FC= \frac{12m}{11}$;
Рассмотрим треугольник ACD; В нем по теореме Менелая:
$\frac{KD}{AK}\times \frac{5x}{x} \times \frac{ \frac{12m}{11} }{ \frac{67m}{11} }=1 \Leftrightarrow \frac{KD}{AK}= \frac{67}{60}$
Применим теорему Менелая еще раз: 
(PF = t)
$\frac{2m}{ \frac{45m}{11} }\times \frac{PS+t}{SK}\times \frac{60}{127}=1 \Leftrightarrow \frac{PS+t}{SK}= \frac{127*45}{60*22}= \frac{127*3}{4*22}=[tex] \frac{381}{88}$ [/tex] (1)
С другой стороны,
$\frac{5m}{ \frac{12m}{11} }\times \frac{t}{PS+SK}\times \frac{60}{127}=1 \Leftrightarrow \frac{PS+SK}{t}= \frac{275}{127}$
$t= \frac{127}{275}(PS+SK)$; Подставим это в равенство (1):
$275PS+127PS+127SK= \frac{275*381SK}{88} \Leftrightarrow 402PS= \frac{8509}{8}SK$; Отсюда находим $\frac{PS}{SK}= \frac{127}{48}$