Question

Вероятность положительного результата при химическом анализе 0,75. Найти вероятность того, что из 400 анализов положительный результат получится:
а) в 300; б) не более, чем в 320 анализах.

Answer 1

Поскольку порядок получения результатов не важен, а важно лишь их итоговое количество, считаем вероятность по формуле Бернулли.

$P=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$, здесь p - вероятность события. k - количество раз, которое предполагают положительный результат.
Подставим данные в формулу: 
а)$P=C_{400}^{300}\times0,75^{300}\times0,25^{100}=0,046$
б)Вероятность посчитаем, используя интегральную теорему Лапласа.
Согласно этой теореме, вероятность наступления события от k₁ раз до k₂ раз равна разности значений функции Лапласа в точках x₂ и x₁;
Вычислим эти точки:
$x_{1,2}= \frac{k_{1,2}-np}{ \sqrt{npq} };$
Отсюда 
$x_{1}= \frac{0-400*0,75}{ \sqrt{400*0,75*0,25} }=-34,64 \\ x_{2}= \frac{320-400*0,75}{ \sqrt{400*0,75*0,25} }=2,31$
Следует учесть четность функции Лапласа: $\Phi(-x)=-\Phi(x)$
С учетом этого получаем:
$P_{400}(0,320)=\Phi(2,31)-\Phi(34,64)=0,98979$