Question

Sin^4x+sin^4(x+пи/4)=1/4 решите пажалуйста

Answer 1

Понизим степени

$\displaystyle \bigg( \frac{1-\cos2x}{2}\bigg)^2 +\bigg( \frac{1-\cos(2x+ \frac{\pi}{2}) }{2} \bigg)^2= \frac{1}{4}~~~~\bigg|\cdot4\\ \\ (1-\cos2x)^2+(1+\sin 2x)^2=1\\ \\ 1-2\cos2x+\cos^22x+1+2\sin2x+\sin^22x=1\\ \\ 2(\sin2x-\cos2x)=-2\\ \\ \sin2x-\cos2x=-1$

По формуле содержащего дополнительный угол:

$\sqrt{1^2+1^2}\sin(2x-\arcsin \frac{1}{ \sqrt{1^2+1^2} } )=-1\\ \\ \sin(2x- \frac{\pi}{4} )=- \frac{1}{ \sqrt{2} } \\ \\ 2x- \frac{\pi}{4} =(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{4} + \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ 2x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ x=(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi}{8}+ \frac{\pi k}{2} ,k\in \mathbb{Z}$