Question

Вычислить длину дуги данной линии. 2.2

Answer 1

9y² = 4(3-x)³
y² = 4/9*(3-x)³
Две ветви графика
y = + 2/3*(3-x)^(3/2)
y = - 2/3*(3-x)^(3/2)
Можно посчитать для одной ветви, и потом, в силу симметрии, просто умножить на 2.
Длина дуги 
$L = \int\limits^a_b { \sqrt{1+(f'(x))^2} } \, dx$
Для положительной ветви
f'(x) = (2/3*(3-x)^(3/2))' = -√(3-x)
(f'(x))² = 3 - x
Подынтегральное выражение
√(1 + (f'(x))²) = √( 1 + 3 - x) = √(4-x)
L = $\int\limits^a_b { \sqrt{4 - x} } \, dx = \left. {-\frac{2}{3}(4-x)^\frac{3}{2}}\right |^b_a}$
Пределы интегрирования
a = 0 (из условия нахождения точки на оси Оу)
b = 3 (ограничение налагается областью определения функции)
L = -2/3((4-3)^(3/2) - (4-0)^(3/2)) = -2/3*(1 - 4^(3/2)) = -2/3*(1-8) = 14/3
Это только половинка
Полная длина двух ветвей 28/3