Question

Найдите остаток от деления 3^2017 на 7. Сравнение по модулю!

Answer 1

если 3 возводить в степень показатель которой целое число начиная с 0 и делить на 7,  то можно заметить, что остатки от деления на 7 будут равны 1;3;2;6;4:5  и далее эта последовательность остатков будет бесконечно повторяться. см. картинку. то что это будет повторяться до бесконечности строго говоря надо доказать, но пока что предположим что так и есть. если что то можно над этим тоже подумать,  например доказать методом мат индукции.

в этой последовательности 6 чисел, если обозначить показатель степени как 6n+m тогда можно составить следующую таблицу:

остаток от деления 3⁶ⁿ    на 7=1 показатель 6n+0; m=0    
остаток от деления 3⁶ⁿ⁺¹ на 7=3  показатель 6n+1; m=1 
остаток от деления 3⁶ⁿ⁺² на 7=2  показатель 6n+2; m=2
остаток от деления 3⁶ⁿ⁺³ на 7=6  показатель 6n+3; m=3
остаток от деления 3⁶ⁿ⁺⁴ на 7=4  показатель 6n+4; m=4
остаток от деления 3⁶ⁿ⁺⁵ на 7=5  показатель 6n+5; m=5

используя эту таблицу по числу m можно находить остаток от деления

представим 2017 как 6n+m и найдем m
2017/6=336 целых 1 в остатке ;  m=1
2017/6=336*6+1
смотрим в таблицу и видим что при m=1 остаток = 3    

проверка решения
поскольку на калькуляторе 3^2017 не вычисляется проверим алгоритм 
например на числе 3^15
15=6*2+3 m=3 смотрим в таблицу при m=3 остаток 6

теперь найдем остаток используя калькулятор
3^15=14348907 разделим на 7 получим 2049843,...
14348907-7*2049843=14348907=14348901=6 все верно,  ура!!! работает