Предмет: Математика,
автор: MrDio
Есть равнобедренный треугольник ABC, угол С=90°. Точка D находится на окружности описывающей АВС, так что получается четырехугольник ADBC. Докажите что АD+DB= (корень из 2)×DC.
Ответы
Автор ответа:
1
По свойству четырехугольника, вписанного в окружность:
"Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон".
То есть: AB*DC= AD*BC+DB*AC
По условию ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, следовательно ∠САВ=∠АВС=45° и АС=ВС, поэтому
AB*DC= AD*BC+DB*ВC
AB*DC= ВС(AD+DB)
![AD+DB= \frac{AB*DC}{BC} =\frac{AB}{BC}*DC AD+DB= \frac{AB*DC}{BC} =\frac{AB}{BC}*DC](https://tex.z-dn.net/?f=AD%2BDB%3D+%5Cfrac%7BAB%2ADC%7D%7BBC%7D+%3D%5Cfrac%7BAB%7D%7BBC%7D%2ADC+)
Заметим, что в прямоугольном ΔАВС
![\frac{BC}{AB} =sin\angle CAB=sin45^{\circ} = \frac{1}{ \sqrt{2} } \frac{BC}{AB} =sin\angle CAB=sin45^{\circ} = \frac{1}{ \sqrt{2} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cfrac%7BBC%7D%7BAB%7D+%3Dsin%5Cangle+CAB%3Dsin45%5E%7B%5Ccirc%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%7B2%7D+%7D+)
Тогда:
![\frac{AB}{BC} = \sqrt{2} \frac{AB}{BC} = \sqrt{2}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7BAB%7D%7BBC%7D+%3D+%5Csqrt%7B2%7D+)
Следовательно:
AD+DB=√2 DC - ч.т.д.
"Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон".
То есть: AB*DC= AD*BC+DB*AC
По условию ΔАВС - прямоугольный и равнобедренный, следовательно ∠САВ=∠АВС=45° и АС=ВС, поэтому
AB*DC= AD*BC+DB*ВC
AB*DC= ВС(AD+DB)
Заметим, что в прямоугольном ΔАВС
Тогда:
Следовательно:
AD+DB=√2 DC - ч.т.д.
Приложения:
![](https://files.topotvet.com/i/11d/11dfe95a1644a8d0859d0e2b4cd32a77.png)
MrDio:
спасибо огромное
Похожие вопросы
Предмет: Химия,
автор: alpha222333
Предмет: Физика,
автор: IMinDi
Предмет: Окружающий мир,
автор: smisywhwjeo
Предмет: Математика,
автор: Светочка1231