Question

№18. Найдите все значения a, при которых уравнение $ax^3 + 2x^2 + 8x + 4 = 0$ имеет ровно 2 решения.

Answer 1

Положим что b это один из корней уравнения, тогда
(x-b)*(ax^2+n*x+m)=ax^3+2x^2+8x+4
Открывая и приравнивая соответствующие коэффициенты
{n-a*b=2,
{m-b*n=8,
b*m=-4,
{n^2=4*a*m ( условие дискриминанта равному 0)

Откуда
{b^2*(2+ab)+8b=-4
{b*(2+ab)^2=-16*a

Поделив
b/(2+ab)=(1+2b)/(4a)
4ab=(2+ab)(1+2b)
a=(4b+2)/(3b-2b^2)
Подставляя во второе

b*(2+(4b+2)/(3-2b))^2+16*(4b+2)/(3b-2b^2)=0
Откуда
b=1-/+sqrt(5/2)
Значит
a=(-28+-sqrt(1000))/27
и очевидно при a=0