Question

Почему в уравнении три корня? Не могу понять, почему рассматривается ещё cos= -1/2.
Уравнение:
cos^2x-cos2x=0,75. [-2п; -п/2]
В итоге получается:
2x=2п/3+2пк
х=+-п/3+пк
С ответом у меня сошлось, по окружности я нашла корень -5п/3, но там ещё два указаны. Как их найти?

Answer 1

cos²x - (2cos²x - 1) = 0.75 / *4
4cos²x - 8cos²x + 4 = 3
4cos²x = 1
(2cosx - 1)(2cosx + 1) = 0
cosx = $\frac{1}{2}$ ⇒ x = $\frac{ \pi }{3} + 2 \pi n$, n ∈ Z, x = $\frac{- \pi }{3} + 2 \pi n$, n ∈ Z; 
или cosx = $\frac{-1}{2}$ ⇒ x = $\frac{2 \pi }{3} + 2 \pi n$, x = $\frac{-2 \pi }{3} + 2 \pi n$, n ∈ Z. 
Объединим ответы: x = +- $\frac{ \pi }{3} + \pi n$, n ∈ Z. 
Отбор корней: 

-2π ≤ π/3 + πn ≤ -π/2. / (:π) и - 1/3
-2 - 1/3 ≤ n ≤ -1/2 - 1/3, n ∈ Z. 
n ∈ { -2; -1}. 
x = π/3 - 2π = -5π/3, x = π/3 - π = -2π/3.  

-2π ≤ -π/3 + πn ≤ -π/2. / (:π) и + 1/3
-2 + 1/3 ≤ n ≤ -1/2 + 1/3, n ∈ Z. 
n = -1. 
x = -π/3 - π = -4π/3. 


Ответ: -5π/3; -4π/3; -2π/3.