Question

Как мы тут получаем выделенное снизу значение? То что написал внутри квадрата это формула и по формуле не должно быть перед е 1/4 ← как вообше это получаем?

Answer 1

∫(e^(4x))dx = (1/4)*∫(e^t)dt = (1/4)* e^t +C = (1/4)* e^(4x) +C
4x = t
4dx = dt
dx = (1/4)dt

Answer 2

Функция y = $e^{4x}$ - сложная, значит, ее производная берется так: y' = $(e^{4x})'*(4x)' = e^{4x} * 4.$ 
Значит, интеграл будет такой: $\int\limits{4e^{4x} \, dx = e^{4x} + C.$
Вам же эта четверка не нужна. Поэтому, чтобы от нее избавиться, нужно к первообразной функции добавить $\frac{1}{4}.$
y = $\frac{1}{4}.$ * $e^{4x}$, y' = $\frac{1}{4}.$ * 4 * $e^{4x}$ = $e^{4x}$ - то, что нужно. 
Значит, $\int\limits {e^{4x}} \, dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C.$
И Вы забыли добавить константу! Больше не забывайте. 
То есть нужно помнить, что Ваша функция - сложная, поэтому нужно избавляться еще и от 4. Просто попробуйте продифференцировать получившуюся функцию обратно - и поймете, что Ваш результат не совпадет с нужным. Надеюсь, что стало чуть-чуть понятнее, если что, готова ответить в комментариях.