Question

В прямоугольную трапецию вписана окружность. Меньшее основание трапеции равно 4 см, а площадь трапеции - 48 см^2. Найдите радиус вписанной окружности.

Answer 1

Пусть большее основание равно b (на рис. b=BC); Нужные значения на рисунке отмечены. Треугольник TOC - прямоугольный. ON - радиус к касательной ⇒ ON ⊥ TC; TN = 4-r по свойству касательных из одной точки.
Аналогично NC = b-r; Тогда ON = r есть среднее геометрическое длин отрезков TN и NC; Другими словами, а вернее буквами и цифрами 
$r^{2} =(4-r)(b-r)=4b-4r-br+r^{2}$, откуда $r= \frac{4b}{4+b}$;
С другой стороны $S=\frac{(4+b)2r}{2}=(4+b)r=48$ ⇔ $r= \frac{48}{4+b}$ ; Значит $\frac{48}{4+b}= \frac{4b}{4+b}$ ⇔ $48=4b,b=12$; Подставляя в формулу для r получим:
$r= \frac{4b}{4+b}= \frac{48}{16}=3$
Радиус равен 3 см