Question

Исследовать на сходимость ряды:

Answer 1

а) По признаку Даламбера: $a_n= \frac{n+4}{2^n}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{n+5}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{n+4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+5}{2(n+4)}= \frac{1}{2} \ \textless \ 1$

Ряд сходится.

б) По признаку Коши
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\bigg( \frac{n+2}{2n+3}\bigg)^n } = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{2n+3}= \frac{1}{2}\ \textless \ 1$
Ряд сходится