Question

Решите неравенство.
㏒₂($\frac{3}{x}$+2)-㏒₂(x+3)≤㏒₂($\frac{x+4}{x^{2}}$)

Answer 1

ОДЗ:
$1) \frac3x+2\ \textgreater \ 0\\ \frac{2x+3}{x}\ \textgreater \ 0\\x\neq-1,5,x \neq 0$
Интервал: __+__(-1,5)__—__(0)__+__ х∈(-∞;-1,5)∪(0;+∞).
$2)x+3\ \textgreater \ 0\\x\ \textgreater \ -3$ (-3;+∞).
$3) \frac{x+4}{x^2}\ \textgreater \ 0\\x\neq-4,x \neq 0$
Интервал: __—__(-4)__+__(0)__+__ х∈(-4;0)∪(0;+∞)
Пересечение этих результатов- это наша конечная область определения:
(-3;-1,5)∪(0;+∞).
$log_2( \frac3x+2)-log_2(x+3) \leq log_2( \frac{x+4}{x^2})\\log_2( \frac{2x+3}{x})-log_2(x+3) \leq log_2( \frac{x+4}{x^2})\\log_2 (\frac{2x+3}{x(x+3)}) \leq log_2( \frac{x+4}{x^2})\\ \frac{2x+3}{x(x+3)} \leq \frac{x+4}{x^2}\\ \frac{2x+3}{x(x+3)}- \frac{x+4}{x^2} \leq 0\\ \frac{x(2x+3)-(x+4)(x+3)}{x^2(x+3)} \leq 0\\ \frac{2x^2+3x-x^2-7x-12}{x^2(x+3)} \leq 0\\ \frac{x^2-4x-12}{x^2(x+3)} \leq 0 \\\frac{(x-6)(x+2)}{x^2(x+3)} \leq 0\\x=6;x=-2;x \neq 0,x \neq -3$
Интервал:
____—____(-3)____+____[-2]____—____(0)____—____[6]____+____
х∈(-∞;-3)∪[-2;0)∪(0;6]
Но из-за ОДЗ ответ:
х∈[-2;-1,5)∪(0;6].
УДАЧИ ВАМ ВО ВСЁМ)))!!!

Answer 2

Найти ОДЗ(область допустимых значений):
x∈(-3,$-\frac{3}{2}$)∪(0,+∞);
Упростить выражение,используя формулу ㏒ₐ(y)=㏒ₐ($\frac{x}{y}$):
㏒₂($\frac{\frac{3}{x}+2}{x+3}$)≤㏒₂($\frac{x+4}{x^{2}}$);
Для a>1 выражение ㏒ₐ(x)≤㏒ₐ(y)=x≤y:
$\frac{\frac{3}{x}+2}{x+3}\leq \frac{x+4}{x^{2}}$;
Переместить выражение в левую часть и изменить его знак:
$\frac{\frac{3}{x}+2}{x+3}-\frac{x+4}{x^{2}} \leq 0$;
Записать все числители над наименьшим общим знаменателем x²(x+3):
$\frac{x^{2}({\frac{3}{x}+2})-(x+3)(x+4)}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Записать все числители над общим знаменателем и перемножить выражения в скобках:
$\frac{x^{2}({\frac{3+2x}{x}})-([tex]x^{2}$+4x+3x+12)}{x^{2}(x+3)} \leq 0[/tex];
Сократить выражение на x и привести подобные члены:
$\frac{x(3+2x)-(x^{2}+7x+12)}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Распределить x через скобки;когда перед скобками есть знак "-",знак каждого члена в скобах нужно изменить на противоположный:
$\frac{3x+2x^{2}-x^{2}-7x-12}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Привести подобные члены:
$\frac{4x+x^{2}-12}{x^{2}(x+3)} \leq 0$;
Существует 2 случая,при которых частное $\frac{a}{b}$ может быть ≤0:$\left \{ {{a \leq 0} \atop {b\ \textgreater \ 0}} \right.$ или $\left \{ {{a \geq 0} \atop {b\ \textless \ 0}} \right.$:
$\left \{ {{-4x+x^{2}-12 \leq 0} \atop {x^{2}(x+3)}\ \textgreater \ 0} \right.$
$\left \{ {{-4x+x^{2}-12 \geq 0} \atop {x^{2}(x+3)}\ \textless \ 0} \right.$;
Решить неравенство относительно x:
$\left \{ {{xe[-2,6]} \atop {xe(-3,0)(0,\infty)}} \right.$
$\left \{ {{xe(-\infty,-2][6,\infty)} \atop {xe(-\infty,-3)}} \right.$;
Находим пересечение:
x∈[-2,0)∪(0,6]
x∈($-\infty$,-3);
Находим объединение:
x∈($-\infty$,-3)∪[-2,0)∪(0,6], x∈(-3,$-\frac{3}{2}$)∪(0,$\infty$);
Найти пересечение множества решений и области допустимых значений:
x∈[-2,$-\frac{3}{2}$)∪(0,6]
Примечания автора:я думаю всё было понятно,если не так-пиши в комментарии.В функции редактора ответа нельзя использовать знак "∈" или "∉",поэтому там,где он необходим я ставил знак "e".Будь внимательным!
Насчёт квадратных и круглых скобок в конце не должно возникнуть вопросов.Удачи!